\section{子空间的交与和}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 我们将引入子空间上的两种运算：交与和。一些子空间的交就是这些子空间集合意义下的交。
      而和是取这些子空间的元素求和得到的子集。交与和都还是子空间。
      一些子空间的交是包含于这些子空间的最大的子空间。
      一些子空间的和是这些子空间生成的子空间，
      或者说，包含这些子空间的最小的子空间。
    \item 我们会讲到一个维数公式：两个子空间的和的维数与交的维数是两个子空间的维数之和。
      实际上，把交的基分别扩充为两个子空间的基后，交的基拼上扩充的向量就是和的基。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{子空间的交与和}
我们来介绍子空间的两种运算---交与和。

\begin{definition}
  设 $V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间， 
$V_1$与$V_2$的\emph{交} (intersection) 指二者集合意义下的交$V_1\cap V_2$,
  $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的\emph{和（或生成）} (sum, span) $V_1+V_2$定义为
  \[
    V_1+V_2\coloneq \{\alpha_1+\alpha_2\mid \alpha_i \in V_i\}.
\]
\end{definition}
\pause
\begin{lemma} 
如果 $V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，那么 $V_{1} \cap V_{2}$, $V_{1}+V_{2}$  也是 $V$ 的子空间。
\end{lemma}
\verify (要验证$V_1\cap V_2, V_1+V_2$为子空间，只用验证他们非空且对加法和数乘封闭。)

\pause
\pause
 \begin{lemma}
   \begin{enumerate}
       \item 设 $V_{1}, V_{2}, W$ 都是子空间， 那么由 $W \subset V_{1}$ 与 $W \subset V_{2}$ 可推出 $W \subset V_{1} \cap V_{2}$; 而由 $W \supset$ $V_{1}$ 与 $W \supset V_{2}$ 可推出 $W \supset V_{1}+V_{2}$.
         \item 对于子空间 $V_{1}$ 与 $V_{2}$, 
           $V_{1} \subset V_{2}$ 当且仅当
         $V_{1} \cap V_{2}=V_{1}$
       当且仅当 $V_{1}+V_{2}=V_{2}$.
 \end{enumerate}
 \end{lemma}

 \verify 
由 (1) 可知 $V_1\cap V_2$是包含于$V_1, V_2$的最大的子空间，
而$V_1+V_2$是包含$V_1, V_2$的最小的子空间（这也是为什么我们说可把子空间的和想成生成）。


 \end{frame}

 \begin{frame}{}
不难看出，子空间的交与和适合如下运算律：
\[
\begin{aligned}
    \text{交换律} &\left\{\begin{array}{r@{\hspace{0.4em}}l}
      V_{1} \cap V_{2}&= V_{2} \cap V_{1}, \\
  V_{1}+V_{2}&= V_{2}+V_{1};
    \end{array}\right. \\
  \text{结合律} & \left\{\begin{array}{r@{\hspace{0.4em}}l}
    \left(V_{1} \cap V_{2}\right) \cap V_{3}&= V_{1} \cap\left(V_{2} \cap V_{3}\right),\\
 \left(V_{1}+V_{2}\right)+V_{3}&= V_{1}+\left(V_{2}+V_{3}\right).
  \end{array}\right.
\end{aligned}
\]
由结合律，我们可以定义多个子空间的交与和
\begin{align*}
  V_{1} \cap V_{2} \cap \cdots \cap V_{s}&\coloneq  \bigcap_{i=1}^{s} V_{i}, \\
  V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{s}=\sum_{i=1}^{s} V_{i} &\coloneq \left\{\sum_{i=1}^s \alpha_i ~\Bigg\vert~ \alpha_i \in V_i\right\}.
\end{align*}
它们也是子空间。


~

\pause
\begin{example}
  在三维几何空间中， 用 $V_{1}$ 表示一条通过原点的直线， $V_{2}$ 表示一张通过原点而且与 $V_{1}$ 垂直的平面， 那么， $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的交是 $\{0\}$, 而 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的和是整个空间。
\end{example}

 \end{frame}

 \begin{frame}{}

 \begin{example}
    在线性空间 $P^{n}$ 中，用 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 分别表示$n$元齐次方程组
    $AX=0$和$BX=0$的解空间， 那么 $V_{1} \cap V_{2}$ 就是齐次方程组
    $\begin{pmatrix}
      A \\ B
  \end{pmatrix}X=0$的解空间。
\end{example}

\pause
 \begin{example}
   \label{103}
令$V_1, V_2$分别由$\bR^{n\times n}$中所有的对称矩阵、所有的反对称矩阵构成。
  容易发现$V_1, V_2$是$\bR^{n\times n}$的子空间，而且
  \[
    V_1\cap V_2=\{0\},\quad V_1+V_2=\bR^{n\times n}.
\]
  显然既是对称又是反对称的实矩阵只有零矩阵，因此$V_1\cap V_2=\{0\}$.
  对$A\in \bR^{n\times n}$, 令
  \[
    B=\frac{A+A^{\rT}}{2}, \quad C=\frac{A-A^{\rT}}{2}.
  \]
  那么$B$为对称矩阵，$C$为反对称矩阵，且$A=B+C$.
  这样$V_1+V_2=\bR^{n\times n}$.
\end{example}

\pause
 \begin{example}

  在一个线性空间 $V$ 中，我们有
  \[
  \Span \left( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{k}\right)+\Span \left( \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{l}\right)=\Span \left( \alpha_{1}, \cdots,  \alpha_{k},  \beta_{1}, \cdots,  \beta_{l}\right) .
\]
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}{维数公式}
\begin{theorem}[维数公式]
  如果 $V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，那么
\[\dim V_1 + \dim V_2= \dim (V_1+V_2) + \dim (V_1\cap V_2).\]
\end{theorem}

从维数公式可以看到， 和的维数往往要比维数的和来得小。
例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于 $4$. 
由此说明这两张平面的交是一维的直线。
\pause
一般地，我们有
\begin{corollary}\label{1B0}
如果有限维线性空间 $V$ 中两个子空间 $V_{1}, V_{2}$满足 $\dim V_1+\dim V_2>\dim V$, 
那么 $V_{1}, V_{2}$必含有非零的公共向量。
\end{corollary}

\begin{proof*}[推论~\ref{1B0}~的证明]
由维数定理和假设可知
\[
  \dim \left(V_{1}+V_{2}\right) +\dim \left(V_{1} \cap V_{2}\right)=\dim \left(V_{1}\right)+\dim \left(V_{2}\right)>\dim V.
\]
 $V_{1}+V_{2}$ 为$V$ 的子空间表明
  $
     \dim \left(V_{1}+V_{2}\right) \leqslant \dim V,
  $
   所以
  $
     \dim \left(V_{1} \cap V_{2}\right)>0.
    $
   这就是说， $V_{1} \cap V_{2}$ 中含有非零向量。
 
 \end{proof*}

 \end{frame}


 \begin{frame}

   \begin{proof*}[维数公式的证明]
设  
\[
    \dim V_1\cap V_2=m, \quad \dim V_1=n_1,\quad \dim V_2=n_2.
  \]
  注意到我们有子空间的包含关系
  \[
    \begin{tikzpicture}[yscale=.7]
      \node at (0,0) {$V_1\cap V_2$};
      \node at (0,2) {$V_1+V_2$};
      \node at (-.8,1) {$V_1$};
      \node at (.8,1) {$V_2$};
      \node[rotate=135] at (-.5,.5) {$\subset$};
      \node[rotate=45] at (.5,.5) {$\subset$};
      \node[rotate=135] at (.5,1.5) {$\subset$};
      \node[rotate=45] at (-.5,1.5) {$\subset$};
    \end{tikzpicture}
  \]
      令$\symbb{B} _0=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$为$V_1\cap V_2$的一组基, 
      并将之扩充为$V_1, V_2$的基分别得
      \[
      \begin{aligned}
        (\symbb{B} _0, \symbb{B} _1)&= (\alpha_1, \cdots, \alpha_m, \beta_{1},\cdots, \beta_{n_1-m}),\\
(\symbb{B} _0, \symbb{B} _2)&= (\alpha_1, \cdots, \alpha_m, \gamma_1, \cdots, \gamma_{n_2-m}).
\end{aligned}
\]
  我们断言
  \[
    \symbb{B} =(\symbb{B} _0, \symbb{B} _1, \symbb{B} _2)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\cdots,\beta_{n_1-m},\gamma_1,\cdots,\gamma_{n_2-m})
  \]
  为$V_1+V_2$的基。
由此断言可立得维数公式。
要证明此断言，我们证明$\symbb{B} $生成$V_1+V_2$且$\symbb{B} $线性无关。
\end{proof*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[维数公式的证明 (续)]
  先证生成性。
  $V_1+V_2$中向量形如$\alpha_1+\alpha_2$, 其中$\alpha_i\in V_i$.
  $\alpha_1\in V_1$为$V_1$的基$(\symbb{B} _0, \symbb{B} _1)$的一个线性组合，
  例如
  \[
    \alpha_1=\symbb{B}_0X_0+\symbb{B}_1X_1=k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m+p_1\beta_1+\cdots+p_{n_1-m}\beta_{n_1-m};
  \]
  同样地，$\alpha_2\in V_2$可写为$\alpha_2=\symbb{B}_0X_0'+\symbb{B}_2X_2$;
  从而
  \[
    \alpha_1+\alpha_2=\symbb{B}_0(X_0+X_0')+\symbb{B}_1X_1+\symbb{B}_2X_2
  \]
  为$\symbb{B} =(\symbb{B} _0,\symbb{B} _1,\symbb{B} _2)$的一个线性组合，
  这样 $\symbb{B} $生成$V_1+V_2$.
  再证无关性。
  设$\symbb{B} =(\symbb{B}_0, \symbb{B}_1, \symbb{B}_2)$满足线性关系
\[\tag{$*$}
    \symbb{B} _0X_0+\symbb{B} _1X_1+\symbb{B} _2X_2=0.
  \]
  这表明
  \[
    -\symbb{B} _2X_2=\symbb{B} _0X_0+\symbb{B} _1X_1\in V_1.
  \]
  又$-\symbb{B} _2X_2\in V_2$, 
  我们有
  \(
    -\symbb{B} _2X_2\in V_1\cap V_2.
  \)
  故$-\symbb{B} _2X_2$为$V_1\cap V_2$的基$\symbb{B}_0$的一个线性组合，例如
  \(
    -\symbb{B} _2X_2=\symbb{B} _0X_0'.
  \)
亦即
\[
  \symbb{B} _0X_0'+\symbb{B} _2X_2=0.
\]
  由$(\symbb{B} _0, \symbb{B} _2)$无关知
 $
    X_0'=0, X_2=0.
 $
  代入$X_2=0$到($*$)得
  \(
    \symbb{B} _0X_0+\symbb{B} _1X_1=0.
  \)
  由$(\symbb{B} _0,\symbb{B} _1)$无关知
$
    X_0=0, X_1=0.
$
$X_0,X_1,X_2$都是零表明线性关系($*$)是平凡的。
  既然$\symbb{B} $只有平凡的关系，$\symbb{B} $无关。
  得证断言；注意到，如果我们约定能由空集表出的只有零向量，
  那么当$\symbb{B}_0=\emptyset$时，
  上面的$\symbb{B}_0X_0, \symbb{B}_0X_0'$都是零，
  从而上面的讨论显然也适用于$V_0=\{0\}$的情形。
\end{proof*}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{exercise}
  设$V_1, V_2$是向量空间$V$的有限维子空间。公式
  \[
    \dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cap V_2)
  \]
  类似于对集合成立的公式
  \[
    |S_1\cup S_2|=|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|.
  \]
  结合集合的容斥公式，即
对有限集$A_1,\cdots,A_n$有
\[
  |A_1\cup \cdots\cup A_n| =  \sum_i |A_i| -\sum_{i<j} |A_i\cap A_j| + \sum_{i<j<k} |A_i\cap A_j\cap A_k| - \cdots+(-1)^{n-1}|A_1\cap \cdots\cap A_n|, 
  \]
  想想更多的子空间的维数公式是否成立。答案：不成立。
\end{exercise}

\end{frame}
\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 子空间的交与和何指？
      有哪些性质？
    \item 何为维数公式？
  \end{enumerate}
\end{frame}
